6.4 Solve Simple Trigonometric Equations
You need to be able to solve simple trigonometric equations of the form sin θ = k and cos θ = k (where -1 ≤ k ≤ 1) and tan θ = p (where p ∈ ℝ) for given intervals of θ.
你需要能够求解形如 sin θ = k 和 cos θ = k（其中 -1 ≤ k ≤ 1）以及 tan θ = p（其中 p ∈ ℝ）的简单三角函数方程，在给定的 θ 区间内求解。
解的存在性条件 / Conditions for Solutions
• Solutions to sin θ = k and cos θ = k only exist when -1 ≤ k ≤ 1.
• sin θ = k 和 cos θ = k 的解只有当 -1 ≤ k ≤ 1 时才存在。
重要提示
y = sin θ 和 y = cos θ 的图像最大值为1，最小值为-1。y = tan θ 的图像没有最大值或最小值。
• Solutions to tan θ = p exist for all values of p.
• tan θ = p 的解对所有 p 值都存在。
反三角函数 / Inverse Trigonometric Functions
When you use the inverse trigonometric functions on your calculator, the angle you get is called the principal value.
当你在计算器上使用反三角函数时，得到的角度称为主值。
求解步骤 / Solution Steps
Use your calculator to find the principal solution.
使用计算器找到主解。
Use the symmetry of the trigonometric graphs to find other solutions in the given interval.
利用三角函数图像的对称性在给定区间内找到其他解。
Consider the periodicity of trigonometric functions to find all solutions.
考虑三角函数的周期性来找到所有解。
例题分析 / Example Analysis
例题1：求解 sin θ = 1/2
Find the solutions of the equation sin θ = 1/2 in the interval 0 ≤ θ ≤ 360°.
在区间 0 ≤ θ ≤ 360° 内求解方程 sin θ = 1/2。
解题步骤：
1. 使用计算器：sin⁻¹(1/2) = 30°
2. 由于 sin θ 在第一象限和第二象限都是正值，我们需要找到两个解：
• θ = 30°（第一象限）
• θ = 180° - 30° = 150°（第二象限）
3. 因此，在区间 0 ≤ θ ≤ 360° 内，解为 θ = 30° 和 θ = 150°
例题2：求解 cos x = √3/2
Solve, in the interval 0 < x ≤ 360°, cos x = √3/2
在区间 0 < x ≤ 360° 内求解 cos x = √3/2
解题步骤：
1. 使用计算器：cos⁻¹(√3/2) = 30°
2. 由于 cos x 在第一象限和第四象限都是正值，我们需要找到两个解：
• x = 30°（第一象限）
• x = 360° - 30° = 330°（第四象限）
3. 因此，在区间 0 < x ≤ 360° 内，解为 x = 30° 和 x = 330°
例题3：求解 tan x = -2
Find solutions to the equation tan x = -2 in the range 0 ≤ x ≤ 360°.
在区间 0 ≤ x ≤ 360° 内求解方程 tan x = -2。
解题步骤：
1. 使用计算器：tan⁻¹(-2) = -63.4°
2. 由于 tan x 的周期是 180°，我们需要找到在给定区间内的解：
• x = -63.4° + 180° = 116.6°（第二象限）
• x = 116.6° + 180° = 296.6°（第四象限）
3. 因此，在区间 0 ≤ x ≤ 360° 内，解为 x = 116.6° 和 x = 296.6°
常见错误 / Common Mistakes
常见错误
学生在求解 cos x = √3/2 时，错误地认为第二个解是 180° - 30° = 150°。这是错误的，因为 cos 150° = -√3/2，不是 √3/2。
The correct approach is to recognize that cos x is positive in the 1st and 4th quadrants, so the solutions are α and 360° - α where α = cos⁻¹(√3/2).
正确的方法是认识到 cos x 在第一象限和第四象限都是正值，所以解是 α 和 360° - α，其中 α = cos⁻¹(√3/2)。
使用恒等式求解 / Solving Using Identities
You can use the identity tan θ ≡ sin θ/cos θ to solve equations.
你可以使用恒等式 tan θ ≡ sin θ/cos θ 来求解方程。
例题4：求解 sin θ = √3 cos θ
Find the values of θ in the interval 0 ≤ θ ≤ 2π that satisfy the equation sin θ = √3 cos θ.
在区间 0 ≤ θ ≤ 2π 内找到满足方程 sin θ = √3 cos θ 的 θ 值。
解题步骤：
1. 将方程两边除以 cos θ：sin θ/cos θ = √3
2. 使用恒等式：tan θ = √3
3. 使用计算器：tan⁻¹(√3) = π/3
4. 由于 tan θ 的周期是 π，在区间 0 ≤ θ ≤ 2π 内：
• θ = π/3（第一象限）
• θ = π/3 + π = 4π/3（第三象限）
5. 因此，解为 θ = π/3 和 θ = 4π/3
总结 / Summary
学习建议
在求解三角函数方程时，建议先画出相应的三角函数图像，这样可以更直观地理解解的位置和数量。